Poszukiwania geometrii Wszechświata - NADMIAR WYMIARÓW

Stanisław Mrówczyński

Świat jaki znamy jest trójwymiarowy – obiektom materialnym przypisujemy: szerokość, wysokość i głębokość. Po uwzględnieniu czasu dostajemy czterowymiarową czasoprzestrzeń, w której żyjemy. W ciągu ostatnich kilkunastu lat fizycy argumentowali, że w rzeczywistości świat ma więcej wymiarów – 10, 11, a może nawet 26. Ostatnio pojawiła się jednak przeciwstawna koncepcja. Zakłada ona, że na fundamentalnym poziomie wymiarów jest mniej niż cztery, być może nie ma ich wcale.

Linia prosta bądź zakrzywiona jest tworem jednowymiarowym. Wystarczy bowiem podać jedną liczbę – współrzędną, aby określić położenie punktu na owej linii. W przypadku płaszczyzny mamy do czynienia z dwoma wymiarami. Dla zlokalizowania punktu w otaczającej nas przestrzeni potrzeba trzech współrzędnych, co jest właśnie konsekwencją jej trójwymiarowości. Euklides rozważa w Elementach – badajże najdonioślejszym dziele naukowym wszechczasów – figury płaskie i bryły, a więc obiekty dwu- i trzywymiarowe. Nie dopuszczał zapewne istnienia czwartego i wyższych wymiarów, co dobitnie sformułował Arystoteles w rozprawie O niebie, pisząc, że „liczba trzy obejmuje wszystko”. Ptolemeusz - największy astronom starożytności – przedstawił nawet jakby geometryczny dowód nieistnienia czwartego wymiaru, chociaż jego rozumowanie pokazuje jedynie, jak trudno sobie wyobrazić czterowymiarowy obiekt w naszej trójwymiarowej przestrzeni. Przez wieki więc nie interesowano się wielowymiarową geometrią w błogim przekonaniu, że nie ma ona żadnego odniesienia do rzeczywistości. Dopiero kaprys księcia matematyków sprawił, że problem został poważnie potraktowany. Carl Friedrich Gauss, profesor uniwersytetu w Getyndze, zażyczył sobie mianowicie, aby wykład habilitacyjny Georga Bernharda Riemanna poświęcony był podstawom geometrii.

Z zachowanej korespondencji wiadomo, że Riemann zaprzątnięty innymi problemami bez entuzjazmu przyjął propozycję. A jednak wyniki jego dociekań daleko wykroczyły poza oczekiwania Tajnego Radcy – jak Riemann zwykł tytułować swego nauczyciela. Data wygłoszenia wykładu - 10 czerwca 1859 roku - uchodzi za narodziny nowej geometrii. Metody wypracowane przez Riemanna pozwoliły badać wymykające się naszej imaginacji wielowymiarowe światy. Aby uchwycić na czym polegają trudności w zrozumieniu geometrii czterowymiarowej, matematycy zwykli się odwoływać do żyjących na płaszczyźnie dwuwymiarowych płaszczaków, dla których trójwymiarowa przestrzeń jest równie abstrakcyjna jak dla nas czwarty wymiar. W przestrzeni trójwymiarowej wystarczy obrócić prawoskrętną spiralę, aby stała się lewoskrętną. W krainie płaszczaków spirala lewoskrętna natomiast to obiekt inny niż prawoskrętna, tak jak dla nas prawa i lewa rękawiczka. W czterowymiarowej zaś przestrzeni lewą rękawiczkę można zmienić na prawą odpowiednio ją wywijając. Płaszczak otoczony okręgiem nigdy go nie opuści, jeśli okrąg nie zostanie przerwany. W trójwymiarowej przestrzeni można go po prostu z okręgu wyjąć; w czterowymiarowej zaś nawet powierzchnia sfery nie stanowi szczelnej klatki.

Ze względu na te niezwykłe własności nowa geometria zaczęła robić niezwykłą karierę wśród szerokiej publiczności. Stanowiła inspirację dla kubistów, przeniknęła do literatury. O czwartym wymiarze pisali Oscar Wilde i Fiodor Dostojewski. Prorocza okazała się wizja Heberta G. Wellsa tak sugestywnie przedstawiona w Wehikule czasu, gdzie czas jest czwartym wymiarem. Mistycy i spirytualiści umieszczali w nim duchy i zjawy, a niektórym teologom nowa geometria pozwoliła wreszcie znaleźć miejsce dla nieba i piekła. Wielkie zainteresowanie towarzyszyło procesowi oskarżonego o oszustwa Henry’ego Slade, który dokonywał niewiarygodnych sztuczek, twierdząc, że potrafi przenikać w czwarty wymiar. Grupa wybitnych fizyków poważnie potraktowała jego oświadczenie i zaproponowała przeprowadzenie serii kontrolowanych eksperymentów. Jeśli Slade rzeczywiście umie przenieść się w czterowymiarową przestrzeń, argumentowali, to zdoła połączyć dwa rozłączne okręgi nie rozrywając ich; zamieni lewoskrętną muszlę w prawoskrętną; rozwiąże supeł na sznurku o połączonych końcach. Zadania te, choć niewykonalne w trzech wymiarach, są banalne w przestrzeni czterowymiarowej. Ku zaskoczeniu uczonych mężów, Slade wykonał część z owych zadań. Wystąpili więc w jego obronie, by później stać obiektem drwin, gdy oszustwa utalentowanego hochsztaplera wyszły na jaw.

Do fizyki czwarty wymiar wkroczył wraz z teorią względności. Jednak to nie Einsteinowi zawdzięczamy odkrycie geometrycznego sensu czasu. Pojęcie czasoprzestrzeni wprowadził w 1907 roku matematyk Herman Minkowski, co Einstein uznał początkowo za „zbyteczną uczoność”. Wkrótce jednak docenił ogromną doniosłość pomysłu i wykorzystał z całym aparatem riemannowskiej geometrii, konstruując ogólną teorię względności. Wszechświat stał się tedy czterowymiarowy z własnościami czasu i przestrzeni określonymi przez rozkład energii.

W kwietniu 1919 roku Einstein otrzymał zdumiewający list. Jego autorem był urodzony w Raciborzu w 1885 roku Privatdozent z uniwersytetu królewieckiego, mało znany matematyk Theodor Kaluza. Przebadał on równania ogólnej teorii względności, ale nie w cztero-, lecz w pięciowymiarowej czasoprzestrzeni i wykazał, że po odpowiednim przejściu do czterech wymiarów uzyskuje się zwykłe einsteinowskie równania oraz elektromagnetyczną teorię Maxwella. Innymi słowy, Kaluza zademonstrował jedność sił elektromagnetycznych i grawitacyjnych przy założeniu, że działają one w pięcio- a nie tylko w czterowymiarowej czasoprzestrzeni. Przedstawione rozumowanie zrobiło na Einsteinie wielkie wrażenie. Wszak poszukiwanie jedności, odkrywanie wspólnych korzeni różnych zjawisk jest naczelnym zadaniem przyrodoznawstwa. James Clark Maxwell zapisawszy cztery słynne równania zamknął w jednej teorii elektryczność, magnetyzm i optykę. Ludwig Boltzmann pokazał, że nauka o cieple nie jest, jak sądzono przez wieki, autonomicznym działem fizyki, lecz u jej podstaw leżą zwykłe prawa mechaniki. Połączenie elektromagnetyzmu z grawitacją było więc koncepcją jak najbardziej pożądana. Pomysł zaś wprowadzenia dodatkowego, piątego wymiaru nie był bynajmniej szalony.

Prostopadłościan jest oczywiście trójwymiarową bryłą. Jeśli jednak bardzo go spłaszczyć, tak aby jego głębokość stała się dużo mniejsza niż wysokość i szerokość, to niewiele będzie się różnił od dwuwymiarowej płaszczyzny – krainy wspomnianych płaszczaków. Podobnie pięciowymiarowa czasoprzestrzeń będzie nam się jawić jako czterowymiarowa, jeśli ów piąty wymiar ograniczyć do bardzo małych rozmiarów. Oskar Klein – szwedzki fizyk, które w 1926 roku istotnie udoskonalił teorię Kaluzy – argumentował, że ruch wzdłuż piątego wymiaru może się odbywać tylko na długości miliony razy mniejszej niż rozmiary atomu. Sprawia to, że ów wymiar jest praktycznie nieobserwowalny. Proces redukcji wymiarów przestrzeni, po przez zawężenie ruchu w tych wymiarach do bardzo małych odległości, określany jest mianem kompaktyfikacj. Zachodzenie tego procesu jest postulowane we wszystkich współczesnych wielowymiarowych teoriach mikroświata.

Theodor Kaluza głęboko wierzył w potęgę wiedzy teoretycznej. Do nauki pływania przystąpił skrupulatnie przestudiowawszy odnośny podręcznik. Już pierwsza próba w wodzie zakończyła się pełnym sukcesem. Natomiast jego pięciowymiarowa teoria po krótkim okresie zainteresowania została zarzucona. Dopiero po upływie półwiecza do niej powrócono, w nowych jednak okolicznościach. W ciągu tego czasu obraz mikroświata uległ ogromnym przeobrażeniom. Okazało się, że przyrodą rządzą nie tylko znane od wieków siły grawitacyjne i elektromagnetyczne, lecz jeszcze dwa inne rodzaje sił określane jako silne i słabe, działające wyłącznie na odległościach mniejszych niż rozmiary atomu. Odkryto niezwykłe bogactwo cząstek elementarnych. Potrzeba znalezienia harmonii w tym niezwykle skomplikowanym świecie stawała się coraz bardziej nagląca. W latach 60-tych Steven Weinberg i Abdus Salam sformułowali teoretyczny model, który, wskazując wspólne źródło, unifikował siły elektromagnetyczne i słabe. W roku 1983 model został potwierdzony doświadczalnie – w Europejskim Laboratorium Cząstek Elementarnych (CERN) pod Genewą zaobserwowano cząstki, będące nośnikami sił elektro-słabych. Rozbudowując model Weinberga-Salama przez włączenie oddziaływań silnych, skonstruowano Model Standardowy, który jest obecnie najpełniejszą teorią najmniejszych cegiełek Wszechświata.

Odkryta na początku XX wieku mechanika kwantowa obejmuje swym władaniem, jak wierzymy, wszelkie zjawiska, chociaż ujawnia swe paradoksalne własności dopiero wówczas, gdy mamy do czynienia z obiektami nie większymi od atomów. Einstein, który odegrał istotną rolę przy tworzeniu mechaniki kwantowej, był w latach późniejszych bardzo jej niechętny. Uważał za teorię niepełną, nie chciał zaakceptować jej probabilistycznego charakteru. „Mechanika kwantowa jest doprawdy imponująca - pisał - niemniej jestem przekonany, że Bóg nie gra w kości". Najwspanialsze dzieło Einsteina - ogólna teoria względności - ma postać całkowicie klasyczną. Sytuacja jest więc taka, że oddziaływania elektro-słabe i silne mają charakter kwantowy, natomiast opis sił grawitacyjnych pozostaje klasyczny. Największym przeto wyzwaniem fizyki teoretycznej ostatnich kilku dziesięcioleci jest wielka unifikacja czyli skwantowanie grawitacji i włączenie w jedną spójną teorię wszystkich sił przyrody.

Ogromnie wiele wysiłku włożono w stworzenie takiej ogólnej teorii wszystkiego. Wśród różnych podejść powrócono też do teorii Kaluzy-Kleina, która mino modyfikacji i ulepszeń nie spełniła jednak oczekiwań. Najpoważniejszym kandydatem na ogólną teorię wszystkiego przez długi czas wydawała się teoria strun, w której podstawowym obiektem nie jest bezwymiarowa cząstka, lecz jednowymiarowa struna. Wszystkie typy sił i całe bogactwo cząstek elementarnych jawią się w tej teorii jako drgania strun. Oddziaływania grawitacyjne na przykład to najniższy ton struny tworzącej zamkniętą pętlę. Z prostych tonów powstają wielotony, a z nich akordy i współbrzmienia, o których największym się kompozytorom nie śniło.

Praktycznie wszystkie sensowne próby stworzenia wielkiej unifikacji zakładają, że w istocie jest więcej niż cztery wymiary, lecz wszystkie te nadmiarowe ulegają opisanej wcześniej kompaktyfikacji, więc są niewidoczne w otaczającym nas świecie. Ostatnio zaproponowano jednak podejście jakby odwrotne. Wśród jego autorów jest wybitny teoretyk z Uniwersytetu Warszawskiego profesor Stefan Pokorski. Nowa koncepcja zakłada, że na fundamentalnym poziomie świat ma mniej wymiarów niż cztery, być może jest nawet bezwymiarowy. To co doświadczamy jak zjawisko przestrzennego wymiaru jest bowiem efektem szczególnie symetrycznego działania sił. Trudno zgadnąć jakie będą losy tego pomysłu. Być może jest on kluczem do ogólnej teorii wszystkiego, może też być już wkrótce zarzucony. Historia fizyki jest usłana zwłokami zbyt ambitnych teorii.

(POLITYKA 48, 2001)